Quantum Mechanics

۱. مکانیک کوانتومی جایگزین شهود کلاسیک با ریاضیات انتزاعی می‌شود.

تنها راه فهم آن، بازسازی شهودهای ما با ریاضیات انتزاعی است.

کلاسیک در برابر کوانتومی. مکانیک کلاسیک برای ما قابل درک است زیرا حواس ما برای درک اجسام ماکروسکوپی و حرکت‌های قابل پیش‌بینی آن‌ها تکامل یافته‌اند. اما مکانیک کوانتومی رفتار ذرات زیراتمی را توصیف می‌کند که کاملاً فراتر از تجربه‌ی مستقیم حسی ما هستند. این موضوع نیازمند نوعی تفکر بنیاداً متفاوت است.

انتزاعات متفاوت. مکانیک کوانتومی از انتزاعات ریاضی استفاده می‌کند که به‌طور قابل توجهی با انتزاعات کلاسیک متفاوت‌اند. مفاهیمی مانند «حالت» و «اندازه‌گیری» در دنیای کوانتومی معانی و ساختارهای منطقی متمایزی دارند. برخلاف فیزیک کلاسیک که اندازه‌گیری صرفاً حالت از پیش موجود را آشکار می‌کند، اندازه‌گیری کوانتومی فرایندی فعال است که می‌تواند سیستم را تغییر دهد.

منطق متفاوت است. پایه‌های منطق تغییر می‌کند. فیزیک کلاسیک بر منطق بولی استوار است که در آن گزاره‌ها یا درست یا نادرست‌اند. مکانیک کوانتومی منطق غیر بولی معرفی می‌کند که ترتیب انجام عملیات در آن اهمیت دارد، به‌ویژه برای اندازه‌گیری‌های ناسازگار، که فهم کلاسیک ما از واقعیت را به چالش می‌کشد.

۲. حالات کوانتومی بردارند، نه ویژگی‌های ساده.

فضای حالات یک سیستم کوانتومی یک مجموعه ریاضی نیست؛ بلکه یک فضای برداری است.

حالات به‌صورت فضای برداری. برخلاف حالات کلاسیک که نقاطی در یک مجموعه‌اند (مانند شیر یا خط)، حالات کوانتومی با بردارهایی در فضای برداری مختلطی به نام فضای هیلبرت نمایش داده می‌شوند. این بدان معناست که حالات می‌توانند جمع و ضرب در اعداد مختلط شوند و امکان برهم‌نهی فراهم می‌آید.

برهم‌نهی کلید است. یک سیستم کوانتومی می‌تواند همزمان در برهم‌نهی چند حالت کلاسیک وجود داشته باشد. برای یک اسپین ساده، حالت فقط «بالا» یا «پایین» نیست، بلکه ترکیب خطی (برهم‌نهی) بردارهای «بالا» و «پایین» است که ضرایب آن‌ها اعداد مختلطی به نام دامنه‌های احتمال هستند.

نرمال‌سازی اهمیت دارد. بردار حالت باید نرمال‌سازی شده باشد (طول واحد داشته باشد)، یعنی مجموع مربعات قدر مطلق دامنه‌های احتمال باید برابر یک باشد. این تضمین می‌کند که احتمال کل یافتن سیستم در هر حالت ممکن صددرصد است. فاز کلی بردار هیچ معنای فیزیکی ندارد.

۳. کمیت‌های قابل مشاهده اپراتورند و اندازه‌گیری مقادیر ویژه می‌دهد.

کمیت‌های قابل مشاهده در مکانیک کوانتومی با اپراتورهای خطی L نمایش داده می‌شوند.

اپراتورها نمایانگر کمیت‌های قابل مشاهده‌اند. کمیت‌های فیزیکی قابل اندازه‌گیری مانند موقعیت، تکانه، انرژی یا مؤلفه‌های اسپین با اپراتورهای خطی که بر بردارهای حالت عمل می‌کنند، نمایش داده می‌شوند. این اپراتورها باید هرمیتی باشند، ویژگی ریاضی که تضمین می‌کند مقادیر ویژه آن‌ها حقیقی است.

مقادیر ویژه نتایج‌اند. نتایج ممکن اندازه‌گیری یک کمیت، مقادیر ویژه اپراتور متناظر هستند. اگر سیستم در یک حالت ویژه (بردار ویژه اپراتور) باشد، نتیجه اندازه‌گیری آن کمیت قطعاً مقدار ویژه متناظر خواهد بود.

احتمال از طریق پروجکشن. اگر سیستم در حالت کلی (غیر ویژه) باشد، نتیجه اندازه‌گیری احتمالی است. احتمال مشاهده مقدار ویژه خاص برابر است با مربع قدر مطلق پروجکشن بردار حالت روی بردار ویژه متناظر. این مقدار از ضرب داخلی بردار حالت با بردار ویژه به‌دست می‌آید و سپس مربع گرفته می‌شود.

۴. تحول زمانی واحدی است و توسط هامیلتونی هدایت می‌شود.

تحول بردارهای حالت در طول زمان واحدی است.

تحول حالت قطعی است. بین اندازه‌گیری‌ها، بردار حالت سیستم کوانتومی به‌طور قطعی طبق معادله شرودینگر وابسته به زمان تکامل می‌یابد. این معادله خطی است و تضمین می‌کند تحول واحدی باشد، یعنی ضرب داخلی بین بردارهای حالت حفظ شود.

اپراتورهای واحدی حفظ می‌کنند. تحول واحدی معادل کوانتومی قانون «منهای اول» کلاسیک است — اطلاعات هرگز از بین نمی‌رود و تمایز بین حالات حفظ می‌شود. اگر دو حالت در زمانی متعامد باشند، تحت تحول واحدی همچنان متعامد باقی می‌مانند.

هامیلتونی تغییر را تعیین می‌کند. اپراتور هامیلتونی که انرژی کل سیستم را نمایش می‌دهد، مولد تحول زمانی در معادله شرودینگر است. مقادیر ویژه آن انرژی‌های ممکن و بردارهای ویژه آن حالات ایستا هستند که احتمال آن‌ها در طول زمان تغییر نمی‌کند، فقط فاز کلی آن‌ها تغییر می‌کند.

۵. کمیت‌های غیرقابل جابجایی به عدم قطعیت بنیادین منجر می‌شوند.

اگر کموتاتور A و B صفر نباشد، هر دو کمیت نمی‌توانند همزمان قطعی باشند.

اهمیت جابجایی. دو کمیت تنها زمانی می‌توانند با دقت دلخواه همزمان اندازه‌گیری شوند که اپراتورهای متناظر آن‌ها جابجایی‌پذیر باشند (یعنی ترتیب اعمال اپراتورها مهم نباشد). اگر جابجایی‌پذیر نباشند، محدودیت بنیادینی در دقت همزمان آن‌ها وجود دارد.

اصل عدم قطعیت. اصل کلی عدم قطعیت این محدودیت را کمّی می‌کند: حاصل‌ضرب انحراف معیارهای دو کمیت بزرگ‌تر یا مساوی نصف قدر مطلق مقدار مورد انتظار کموتاتور آن‌ها است.

رابطه هایزنبرگ. مثال مشهور آن موقعیت (X) و تکانه (P) ذره است. کموتاتور آن‌ها [X, P] = iħ است. با اعمال اصل عدم قطعیت، رابطه هایزنبرگ به‌دست می‌آید: ΔX ΔP ≥ ħ/2. یعنی نمی‌توان همزمان موقعیت و تکانه دقیق ذره را دانست.

۶. درهم‌تنیدگی همبستگی‌های غیرکلاسیکی در سیستم‌های مرکب ایجاد می‌کند.

در حالت درهم‌تنیده حداکثری، هیچ چیز درباره زیرسیستم‌های منفرد معلوم نیست.

ترکیب سیستم‌ها. سیستم‌های مرکب که از چند زیرسیستم تشکیل شده‌اند (مانند دو اسپین)، با ضرب تانسوری فضاهای برداری زیرسیستم‌ها توصیف می‌شوند. حالات در این فضای ترکیبی می‌توانند حالات ضربی (زیرسیستم‌ها مستقل) یا حالات درهم‌تنیده باشند.

درهم‌تنیدگی همبستگی است. حالات درهم‌تنیده همبستگی‌هایی بین زیرسیستم‌ها نشان می‌دهند که همتایی در فیزیک کلاسیک ندارند. در حالت درهم‌تنیده حداکثری، مانند حالت سینگلت دو اسپین، حالت کل سیستم کاملاً معلوم است، اما حالت هر زیرسیستم به‌تنهایی کاملاً نامشخص است (توصیف شده توسط ماتریس چگالی مخلوط).

همبستگی‌های غیرمحلی. درهم‌تنیدگی به این معناست که اندازه‌گیری یک زیرسیستم می‌تواند بلافاصله توصیف حالت زیرسیستم دوردست درهم‌تنیده را تحت تأثیر قرار دهد. اگرچه این همبستگی «شبح‌وار» و غیرمحلی به نظر می‌رسد، مکانیک کوانتومی تضمین می‌کند که نمی‌توان از آن برای ارسال اطلاعات سریع‌تر از نور استفاده کرد و علیت حفظ می‌شود.

۷. ذرات مانند امواج رفتار می‌کنند و توسط تابع موج توصیف می‌شوند.

تابع موج ψ(x) ذره‌ای که در جهت x حرکت می‌کند، پروجکشن بردار حالت |Ψ روی بردارهای ویژه موقعیت است.

تابع موج به‌عنوان حالت. برای یک ذره، بردار حالت می‌تواند به‌صورت تابع موج نمایش داده شود که معمولاً با ψ(x) نشان داده می‌شود و تابعی مختلط از موقعیت است. قدر مطلق مربع آن، |ψ(x)|²، چگالی احتمال یافتن ذره در موقعیت x را می‌دهد.

موقعیت و تکانه. موقعیت (X) و تکانه (P) کمیت‌های کلیدی برای ذره‌اند. در نمایش موقعیت، X ضرب در x است و P متناسب با مشتق نسبت به x است. عدم جابجایی آن‌ها ([X, P] = iħ) بازتاب‌دهنده عدم قطعیت متقابل آن‌ها است.

ارتباط تبدیل فوریه. تابع موج در نمایش موقعیت ψ(x) و تابع موج در نمایش تکانه ψ̃(p) با تبدیل فوریه به هم مرتبط‌اند. این پیوند ریاضی ماهیت موجی را نشان می‌دهد، جایی که تکانه با طول موج مرتبط است (λ = h/p).

۸. نوسان‌گر هماهنگ سطوح انرژی کوانتیده را آشکار می‌کند.

پایین‌ترین سطح انرژی حالت پایه نامیده می‌شود و با ψ₀(x) نشان داده می‌شود.

مدل فراگیر. نوسان‌گر هماهنگ که ذره‌ای تحت نیروی بازگرداننده خطی (پتانسیل سهمی) را مدل می‌کند، مدلی بنیادی در فیزیک است زیرا بسیاری از سیستم‌ها نزدیک تعادل مانند نوسان‌گر رفتار می‌کنند. درمان کوانتومی آن ویژگی‌های کلیدی سیستم‌های کوانتومی را نشان می‌دهد.

سطوح انرژی گسسته. برخلاف نوسان‌گر کلاسیک که می‌تواند هر انرژی‌ای داشته باشد، نوسان‌گر کوانتومی سطوح انرژی گسسته و کوانتیده دارد. این مقادیر ویژه انرژی با حل معادله شرودینگر مستقل از زمان برای هامیلتونی سیستم (انرژی جنبشی + پتانسیل) به‌دست می‌آید.

انرژی حالت پایه. پایین‌ترین انرژی ممکن، انرژی حالت پایه، صفر نیست بلکه ħω/2 است. سطوح انرژی بالاتر به‌طور مساوی فاصله دارند و به صورت (n + 1/2)ħω بیان می‌شوند که n عدد صحیح غیرمنفی است. این کوانتیده بودن انرژی نشانه بارز سیستم‌های کوانتومی بسته است.

آخرین به‌روزرسانی:: May 11, 2025