Mathematics

1. Les mathématiques : une base polyvalente et magnifique

Les mathématiques sont sans doute la discipline la plus polyvalente qui soit.

Applications omniprésentes. Les mathématiques sont à la base d’innombrables aspects de la vie moderne et de la technologie, des lois de la physique qui rendent possible notre quotidien aux modèles des marchés financiers ou de la circulation routière. Elles sont indispensables dans des domaines aussi variés que la science, la géographie, l’art, la psychologie, la médecine, l’architecture ou l’ingénierie. Maîtriser les notions fondamentales de mathématiques est précieux pour évoluer dans notre ère technologique.

Beauté intrinsèque. Au-delà de leur utilité pratique, les mathématiques possèdent une beauté propre, admirée par des artistes tels que Kandinsky ou Escher, qui ont intégré la géométrie et les tessellations dans leurs œuvres. Des phénomènes naturels, comme la symétrie des ailes de papillon ou la suite de Fibonacci observée dans les tournesols et les coquillages, révèlent aussi des motifs mathématiques, témoignant de leur présence dans le monde naturel.

Pertinence quotidienne. Beaucoup sous-estiment l’usage quotidien des mathématiques, que ce soit pour calculer le rapport qualité-prix, comprendre les probabilités dans les jeux, gérer un budget avec des pourcentages ou interpréter des statistiques dans les journaux. Développer ses compétences numériques est aussi essentiel que savoir lire et écrire pour prendre des décisions éclairées et progresser professionnellement, renforçant à la fois employabilité et confiance en soi.

2. Les nombres : les briques essentielles

Notre système d’écriture des nombres s’appelle le système décimal, car il repose sur dix, le nombre de doigts et de pouces que nous avons.

Le système de valeur de position. Le système décimal utilise les chiffres de 0 à 9, où la position d’un chiffre détermine sa valeur (unités, dizaines, centaines, etc.). Le zéro est crucial pour indiquer les colonnes vides, permettant d’écrire des nombres comme 5023 (cinq mille vingt-trois) où les centaines sont absentes. Les grands nombres sont regroupés par groupes de trois pour faciliter la lecture.

Les opérations arithmétiques. Les quatre opérations fondamentales — addition, soustraction, multiplication et division — sont le socle des mathématiques. Chacune possède un symbole spécifique et un nom pour son résultat : somme (+), différence (−), produit (×) et quotient (÷). La multiplication et la division sont des opérations inverses, tout comme l’addition et la soustraction.

Types particuliers de nombres. Les nombres se classent en différentes catégories, chacune avec ses propriétés propres.

• Nombres entiers naturels : 0, 1, 2, 3...
• Nombres naturels : 1, 2, 3... (également appelés nombres entiers positifs)
• Nombres entiers relatifs : ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3... (positifs, négatifs et zéro)
• Nombres pairs/impairs : divisibles par 2 ou non.
• Nombres carrés/triangles/rectangles/cubes : basés sur des arrangements géométriques ou des multiplications répétées.

3. Les angles : mesurer le tournant et la direction

Un angle se forme lorsque deux droites se rencontrent...

Définition des angles. Un angle mesure la quantité de rotation d’une droite à une autre, le point de rencontre s’appelant le sommet. Un tour complet correspond à 360 degrés (°), un demi-tour à 180° (angle plat), et un quart de tour à 90° (angle droit). Deux droites se rencontrant à 90° sont perpendiculaires.

Types d’angles. Les angles se classent selon leur taille par rapport à un angle droit et un angle plat.

• Angle aigu : inférieur à 90°.
• Angle obtus : entre 90° et 180°.
• Angle rentrant : supérieur à 180°.
  Les angles peuvent être nommés par une lettre à l’intérieur, par la lettre du sommet, ou par trois lettres avec le sommet au milieu (ex. : ∠ABC).

Propriétés des angles. Comprendre les relations entre angles est essentiel pour résoudre des problèmes géométriques.

• Les angles sur une droite forment un total de 180° (angles supplémentaires).
• Les angles autour d’un point totalisent 360°.
• Les angles opposés par le sommet (formés par deux droites qui se croisent) sont égaux.
• Les angles correspondants (en forme de F) et alternes-internes (en forme de Z), formés par une sécante coupant deux droites parallèles, sont égaux.

4. Fractions, décimales et pourcentages : des parties du tout

Une fraction représente une ou plusieurs parties égales d’un tout.

Notions de base sur les fractions. Les fractions expriment des parties d’un tout, écrites avec un numérateur (nombre du haut) et un dénominateur (nombre du bas). Les fractions équivalentes représentent la même valeur (ex. : 1/2 = 2/4). Simplifier une fraction consiste à diviser numérateur et dénominateur par leur plus grand commun diviseur pour obtenir la forme la plus simple.

Types et opérations. Les fractions peuvent être propres (numérateur < dénominateur), impropres (numérateur > dénominateur) ou mixtes (nombre entier + fraction propre). Les opérations suivent des règles précises :

• Addition/soustraction : nécessite un dénominateur commun.
• Multiplication : multiplier numérateurs et dénominateurs.
• Division : multiplier par l’inverse de la deuxième fraction.
  Les fractions servent aussi à exprimer une quantité en proportion d’une autre, en veillant à l’uniformité des unités.

Décimales et pourcentages. Les décimales étendent le système de valeur de position pour représenter des fractions dont le dénominateur est une puissance de 10 (10, 100, 1000, etc.). Les pourcentages sont des fractions sur 100 (pour cent). Les conversions entre ces formes sont fondamentales :

• Décimale en fraction : utiliser la valeur de position (0,7 = 7/10).
• Fraction en décimale : diviser numérateur par dénominateur (3/4 = 0,75).
• Pourcentage en décimale : diviser par 100 (25 % = 0,25).
• Décimale en pourcentage : multiplier par 100 (0,5 = 50 %).
  Les décimales peuvent être finies (terminées) ou périodiques (répétées).

5. Les formes bidimensionnelles : explorer la géométrie plane

Les formes bidimensionnelles sont des figures planes, comme les carrés et les cercles.

Formes de base. La géométrie plane étudie les figures plates telles que les triangles et les quadrilatères. Les triangles ont trois côtés et la somme de leurs angles vaut 180°. Les quadrilatères ont quatre côtés et la somme de leurs angles vaut 360°. Ces sommes peuvent être démontrées en divisant les figures en triangles.

Types et propriétés. Les formes se classent selon la longueur des côtés, les angles et les symétries.

• Triangles : équilatéral (3 côtés/angles égaux), isocèle (2 côtés/angles égaux), scalène (aucun côté/angle égal). Ils peuvent être aigus, obtus ou rectangles.
• Quadrilatères : carré, rectangle, parallélogramme, losange, trapèze, cerf-volant. Chacun possède des propriétés spécifiques concernant côtés, angles et diagonales.
• Polygones : figures à trois côtés ou plus. Les polygones réguliers ont côtés et angles égaux.

Symétrie et congruence. Les formes peuvent posséder des axes de symétrie (lignes de miroir) et une symétrie de rotation (se superposant à elles-mêmes après rotation). Les figures congruentes sont identiques en taille et forme. Les tessellations se produisent lorsque des formes s’emboîtent sans espaces ni chevauchements, souvent liées à la somme des angles intérieurs valant 360° en un point.

6. Statistiques : collecter, organiser et analyser des données

La statistique est la branche des mathématiques qui s’occupe de la collecte, de l’organisation et de l’analyse des données...

Collecte des données. Les données peuvent être recueillies à partir de sources existantes, d’expériences ou d’enquêtes. Les enquêtes utilisent souvent des échantillons pour représenter une population plus large, soulignant l’importance d’échantillons représentatifs pour éviter les biais. Des feuilles de collecte ou des tableaux de dénombrement aident à organiser les données brutes en tableaux de fréquences.

Présentation des données. Les représentations visuelles facilitent la compréhension des données.

• Pictogrammes : utilisent des symboles pour représenter les fréquences.
• Diagrammes en barres : utilisent la hauteur (ou la longueur) des barres pour montrer les fréquences.
• Diagrammes circulaires : utilisent des secteurs (parts) pour montrer les proportions d’un tout.
• Graphiques en courbes : montrent les tendances dans le temps, reliant les points lorsque les valeurs changent progressivement.
• Nuages de points : montrent les relations entre deux ensembles de données.

Types de données et regroupements. Les données numériques sont discrètes (valeurs exactes, souvent comptées) ou continues (mesurées, non exactes). Les données non numériques sont catégorielles. Pour de grands ensembles, les données peuvent être regroupées en classes, présentées dans des tableaux de fréquences groupées et visualisées par des diagrammes en barres ou des polygones de fréquence (reliant les milieux des barres).

7. Nombres relatifs : travailler avec positifs et négatifs

Les nombres supérieurs à zéro sont appelés positifs... Les nombres inférieurs à zéro sont appelés nombres négatifs.

Comprendre les nombres relatifs. Les nombres relatifs comprennent les positifs (supérieurs à zéro, généralement sans signe) et les négatifs (inférieurs à zéro, avec un signe moins). Ils représentent des valeurs avec une direction, souvent visualisées sur une droite graduée ou une échelle de thermomètre. Classer les nombres relatifs revient à comparer leur position sur la droite numérique.

Opérations avec nombres relatifs. L’addition et la soustraction suivent des règles spécifiques, visualisables sur une droite graduée ou compréhensibles par des modèles.

• Ajouter un négatif revient à soustraire un positif (ex. : 3 + (−2) = 3 − 2 = 1).
• Soustraire un négatif revient à ajouter un positif (ex. : 3 − (−2) = 3 + 2 = 5).
  Penser en termes de dette aide aussi : ajouter une dette diminue le solde, enlever une dette l’augmente.

Multiplication et division. Les règles pour multiplier et diviser des nombres relatifs dépendent des signes des nombres impliqués.

• Même signe (positif × positif, négatif × négatif) donne un résultat positif.
• Signes différents (positif × négatif, négatif × positif) donnent un résultat négatif.
  Les calculatrices gèrent ces opérations, souvent avec une touche spécifique pour les nombres négatifs.

8. Graphiques : visualiser relations et données

Les coordonnées sont utilisées en mathématiques pour décrire la position d’un point.

Utilisation des coordonnées. Les coordonnées cartésiennes utilisent un axe horizontal x et un axe vertical y se croisant à l’origine (0,0) pour spécifier la position d’un point sous forme d’une paire ordonnée (x, y). L’abscisse (x) est la distance le long de l’axe horizontal, l’ordonnée (y) la distance le long de l’axe vertical. Les coordonnées négatives étendent le système à gauche de l’axe y et en dessous de l’axe x.

Graphiques de droites. Les équations linéaires (sans puissances de x comme x² ou x³) se représentent par des droites. Tracer des points à partir d’un tableau de valeurs et les relier révèle la droite. L’équation y = mx + c décrit une droite avec une pente m et une ordonnée à l’origine c. Les droites parallèles aux axes ont des équations simples : x = constante (verticale) ou y = constante (horizontale).

Interprétation des graphiques. Les graphiques illustrent visuellement les relations entre quantités.

• Graphiques de conversion : montrent l’équivalence entre différentes unités (ex. : kg et lb).
• Graphiques distance-temps : montrent des trajets, la pente indiquant la vitesse (plus raide = plus rapide, horizontale = arrêt).
• Régions : les inégalités peuvent décrire des zones sur un graphique, souvent délimitées par des droites parallèles aux axes (ex. : x ≥ 1).

9. Mesure : quantifier le monde physique

Le système métrique est un système d’unités basé sur le mètre...

Le système métrique. Le système métrique est décimal, utilisant des préfixes (milli-, centi-, kilo-, etc.) pour indiquer des fractions ou des multiples des unités de base.

• Longueur : mètre (m), millimètre (mm), centimètre (cm), kilomètre (km).
• Masse : gramme (g), milligramme (mg), kilogramme (kg), tonne (t).
• Capacité : litre (l), millilitre (ml), centilitre (cl).
  Les conversions dans le système métrique consistent à multiplier ou diviser par des puissances de 10 (10, 100, 1000).

Unités impériales. Les unités anglaises traditionnelles, bien que largement remplacées par le métrique, restent utilisées dans certains cas.

• Longueur : pouce (in), pied (ft), yard (yd), mile.
• Masse : once (oz), livre (lb).
• Capacité : pinte (pt), gallon.
  Les relations entre unités impériales sont souvent moins simples que dans le système métrique (ex. : 12 pouces = 1 pied, 16 onces = 1 livre).

Conversions et choix. Convertir entre unités métriques et impériales est souvent nécessaire, en utilisant des équivalences approximatives (ex. : 1 pouce ≈ 2,5 cm, 1 mile ≈ 1,6 km). Le choix des unités dépend de l’échelle de l’objet ou de la distance mesurée (ex. : cm ou mm pour la largeur d’une page, kg ou tonnes pour le poids d’une voiture).

10. Périmètre et aire : définir limites et surfaces

Le périmètre d’une forme est la longueur de son contour.

Périmètre. Le périmètre est la longueur totale du contour d’une figure plane. Pour les polygones, il se calcule en additionnant la longueur de tous les côtés. Pour un rectangle, la formule est : périmètre = 2 × longueur + 2 × largeur. Pour des formes complexes, on peut suivre le contour et additionner les longueurs.

Aire. L’aire mesure la surface occupée par une forme, généralement exprimée en unités carrées (ex. : cm²). Elle peut être déterminée en comptant les carrés unitaires à l’intérieur, ou approximée pour des formes irrégulières.

Formules d’aire. Des formules spécifiques existent pour les formes courantes :

• Rectangle : aire = longueur × largeur.
• Carré : aire = côté × côté.
• Parallélogramme : aire = base × hauteur (hauteur perpendiculaire).
• Triangle : aire = ½ × base × hauteur (hauteur perpendiculaire).
• Trapèze : aire = ½ × (somme des bases parallèles) × distance verticale entre elles.
  Les formes complexes peuvent souvent être décomposées en formes plus simples (rectangles, triangles, trapèzes) pour calculer leur aire totale.

11. Expressions algébriques : le langage des symboles

Le mot arabe algèbre signifiait à l’origine l’étude des équations, mais désigne aujourd’hui toute la branche des mathématiques où lettres et symboles généralisent les relations mathématiques.

Écrire des expressions. L’algèbre utilise des lettres (variables) pour représenter des nombres, permettant de généraliser des relations mathématiques. Les expressions combinent variables, nombres et opérations (addition, soustraction, multiplication, division). Le signe de multiplication est souvent omis (ex. : 5y pour 5 × y), et les nombres précèdent généralement les lettres (ex. : 3a).

Simplifier les expressions. On simplifie en regroupant les termes semblables (ceux contenant les mêmes variables élevées aux mêmes puissances). Par exemple, 3a + 4a devient 7a, mais 3a + 4b ne peut être simplifié davantage car ‘a’ et ‘b’ sont différents.

Évaluer les expressions. Si les valeurs des variables sont connues, on peut évaluer l’expression en remplaçant les lettres par les nombres et en effectuant les calculs selon l’ordre des opérations (BiDMAS). Élever au carré (x²) ou au cube (x³) signifie multiplier la variable par elle-même deux ou trois fois.

Parenthèses et factorisation. Les parenthèses regroupent des termes, indiquant que les opérations à l’intérieur doivent être faites en premier. Développer une parenthèse consiste à multiplier le terme extérieur par chaque terme intérieur (ex. : a(b + c) = ab + ac). La factorisation est l’opération inverse, réécrivant une expression comme produit de facteurs, souvent en mettant en évidence un facteur commun (ex. : 7x − 21 = 7(x − 3)).

12. Équations et inégalités : trouver l’inconnu

Une équation est une affirmation mathématique selon laquelle deux expressions sont égales...

**Comprendre les équ

Dernière mise à jour: May 19, 2025