Introduction to Logic

1. Логика: Искусство правильного рассуждения

Логика — это наука о методах и принципах, позволяющих отличать правильные рассуждения от ошибочных.

Почему логика важна. Когда нам нужны надёжные суждения, разум — наш лучший инструмент. Логика даёт объективные критерии оценки рассуждений, помогая отличить здравые аргументы от ложных. Речь не о том, как мыслит ум, а о том, действительно ли вывод следует из посылок.

Рассуждение — ключ к пониманию. Все рассуждения — это мышление, но не всё мышление — рассуждение. Логика сосредоточена именно на том виде мышления, где делаются выводы на основе посылок. Это наука о процессе, гарантирующая его правильность.

Практический навык. Изучение логики помогает осознать наши врождённые способности к рассуждению и укрепить их на практике. Она раскрывает принципы правильного мышления, делая нас более внимательными и рациональными во всех сферах жизни.

2. Аргументы: Строительные блоки логики

В любом аргументе мы утверждаем одно суждение на основе других суждений.

Суждения — это утверждения. Суждения — фундаментальные единицы рассуждения; это утверждения о том, что нечто есть или не есть так, и они всегда либо истинны, либо ложны. Предложения выражают суждения, но разные предложения могут выражать одно и то же суждение.

Аргументы связывают суждения. Аргумент — это группа суждений, где одно (вывод) утверждается как следствие других (посылок), которые его поддерживают. Аргументы — не споры, а структурированные совокупности суждений, демонстрирующие вывод.

Структура имеет значение. Порядок посылок и вывода не определяет качество аргумента, но важно их правильно выделить. Слова-индикаторы вроде «следовательно» или «потому что» помогают, но контекст часто решающий. Аргументы бывают простыми (одна посылка) и сложными, иногда с неявными посылками (энтимемы).

3. Дедукция и индукция: уверенность и вероятность

Дедуктивный аргумент утверждает, что его вывод однозначно вытекает из посылок. Индуктивный аргумент такого утверждения не делает.

Дедукция гарантирует. Дедуктивные аргументы заявляют, что посылки дают неопровержимые основания для вывода. Если это верно, аргумент валиден; если нет — невалиден. Валидность — формальное свойство: если посылки истинны, вывод обязательно истинный.

• Валидность относится только к аргументам, а не к суждениям.
• Валидный аргумент с истинными посылками — надёжный, гарантирующий истинность вывода.

Индукция оценивает. Индуктивные аргументы утверждают, что посылки лишь придают выводу некоторую степень вероятности. Их выводы никогда не бывают абсолютно достоверными, поэтому оцениваются как более или менее сильные, а не валидные или невалидные.

• Новая информация может усилить или ослабить индуктивный аргумент.
• Индукция важна для установления фактов и причинно-следственных связей.

Разные цели. Дедукция стремится прояснить то, что уже известно или подразумевается в посылках. Индукция — открыть новые факты и установить вероятные истины о мире на основе опыта и доказательств.

4. Язык: Двусторонний меч логики

Хорошие определения очень помогают устранить словесные споры, но в логике есть и другие важные функции определения.

Функции языка. Язык служит разным целям: информативной (сообщение фактов), выразительной (передача чувств) и директивной (руководство действиями). Есть также церемониальные и перформативные функции. Логика сосредоточена прежде всего на информативной.

Эмоциональное и нейтральное. Слова несут как описательное (буквальное), так и эмоциональное (оценочное) значение. Эмоциональный язык может убеждать, но и манипулировать, особенно в рекламе и политике. Для объективного рассуждения предпочтителен нейтральный язык.

Определения проясняют. Определения объясняют смысл символов (слов, выражений).

• Стилистические: вводят новое значение (не истинны и не ложны).
• Лексические: сообщают существующее значение (могут быть истинными или ложными).
• Уточняющие: уменьшают неоднозначность.
• Теоретические: отражают теорию.
• Убеждающие: влияют на отношение с помощью эмоционального языка.

Смысл многослоен. Значение общего термина включает расширение (объекты, к которым он относится) и содержание (общие признаки этих объектов). Содержание определяет расширение, но не наоборот. Определения по роду и виду объясняют содержание через более широкий класс и отличительный признак.

5. Ошибки рассуждения: Распознавание заблуждений

Логики обычно используют термин «ошибка» в узком смысле — для обозначения типичных ошибок рассуждения, которые можно выявить и назвать.

Что такое ошибки. Ошибки — аргументы, кажущиеся правильными, но содержащие ошибку в рассуждении. Это типичные модели заблуждений, часто возникающие из-за языковых ловушек (неформальные ошибки) или структурных дефектов (формальные ошибки).

Виды неформальных ошибок:

• Нерелевантность: посылки не связаны с выводом (например, апелляция к эмоциям, ложный след, переход на личность).
• Слабая индукция: посылки релевантны, но слишком слабы (например, апелляция к неподходящему авторитету, поспешное обобщение).
• Предположение: посылки слишком многое принимают на веру (например, круговая аргументация, сложный вопрос).
• Двусмысленность: значение меняется в ходе аргумента (например, эквивокация, композиция, деление).

Почему они вводят в заблуждение. Неформальные ошибки часто используют психологические предубеждения или языковую неточность, заставляя нерелевантные или слабые посылки казаться убедительными. Их выявление требует тщательного анализа содержания и контекста.

Как избежать ловушек. Знание типичных ошибок помогает распознавать слабые рассуждения в чужих аргументах и не допускать их в своих. Это важный навык критического мышления.

6. Классическая логика: Сила категорических силлогизмов

Категорический силлогизм — это дедуктивный аргумент из трёх категорических суждений, содержащих ровно три термина, каждый из которых встречается ровно в двух суждениях.

Категорические суждения. Классическая (аристотелевская) логика изучает рассуждения о классах объектов, выраженные четырьмя стандартными формами:

• A (Все S есть P)
• E (Ни один S не есть P)
• I (Некоторые S есть P)
• O (Некоторые S не есть P)

Структура силлогизма. Категорический силлогизм состоит из двух посылок и вывода, с тремя терминами: большой (предикат вывода), малый (субъект вывода) и средний (в обеих посылках). Стандартный порядок: большая посылка, малая посылка, вывод.

Настроение и фигура. Настроение — последовательность типов суждений (например, AAA, EIO). Фигура — положение среднего термина в посылках (четыре варианта). Вместе они определяют форму силлогизма.

Валидность формальна. Валидность силлогизма зависит только от формы, а не от содержания. Из 256 возможных форм в современной (булевой) логике валидны только 15. Для проверки используют диаграммы Венна и правила силлогистики (например, недопустимый средний термин, незаконный процесс).

7. Современная логика: Символы раскрывают глубинную структуру

Символы значительно облегчают наше мышление об аргументах.

Вне силлогизмов. Многие валидные дедуктивные аргументы нельзя проанализировать классической силлогистикой, так как их валидность зависит от внутренней структуры суждений или логических связей, выходящих за рамки форм A, E, I, O. Современная символическая логика предоставляет необходимые инструменты.

Символический язык. Искусственный язык с точными символами устраняет неоднозначности естественного языка. Основные логические связки:

• Конъюнкция (и): •
• Отрицание (не): ~
• Дизъюнкция (или): ∨ (включающее)
• Материальная импликация (если... то): ⊃
• Материальная эквиваленция (тогда и только тогда): ≡

Таблицы истинности. Истинность составного высказывания определяется только истинностью его частей. Таблицы истинности показывают все возможные комбинации истинности, определяют связки и проверяют валидность форм аргументов.

Формы аргументов. Валидность — формальное свойство. Форма аргумента валидна, если нет подстановки с истинными посылками и ложным выводом. Таблицы истинности дают механический способ проверки.

8. Квантификация: Анализ внутренней структуры суждений

Открытие квантификации считается самым глубоким техническим достижением в логике.

Анализ несложных суждений. Традиционная логика испытывала трудности с аргументами, валидность которых зависела от внутренней структуры несложных суждений (например, «Сократ человек» или «Все люди смертны»). Теория квантификации даёт инструменты для их анализа.

Индивиды и предикаты. Особые суждения утверждают признак об индивидууме (например, «Сократ смертен»).

• Константы (a, b, c...) обозначают индивидов.
• Заглавные буквы (A, B, C...) символизируют предикаты (признаки).
• Предикатные функции (Ax, Bx) содержат переменные и становятся суждениями при подстановке (Aa, Ba).

Кванторы обобщают. Предикатные функции превращаются в общие суждения с помощью квантификации:

• Универсальный квантор (x): «(x)Mx» — «Всё смертно».
• Экзистенциальный квантор (∃x): «(∃x)Bx» — «Что-то красиво».

Традиционные формы в новом свете. Суждения A, E, I, O переводятся с помощью кванторов и предикатных функций:

• A: (x)(Φx ⊃ Ψx)
• E: (x)(Φx ⊃ ~Ψx)
• I: (∃x)(Φx - Ψx)
• O: (∃x)(Φx - ~Ψx)

Правила доказательства. К правилам вывода добавляются четыре правила квантификации (универсальная и экзистенциальная инстанциация и генерализация), позволяющие формально доказывать аргументы с общими суждениями.

9. Причинное рассуждение: Выявление связей в мире

Наша способность управлять средой, успешно жить и достигать целей критически зависит от знания причинно-следственных связей.

Понимание «причины». Слово «причина» имеет несколько значений:

• Необходимое условие: обстоятельство, без которого событие не может произойти (например, кислород для огня).
• Достаточное условие: обстоятельство, при котором событие обязательно происходит (например, нужная температура и кислород для горения).
• Критический фактор: то обстоятельство, которое сыграло решающую роль в конкретном случае.
• Необходимое и достаточное условие: совокупность всех необходимых условий.

Причинные законы. Каждое утверждение о причинности подразумевает общий причинный закон: похожие причины вызывают похожие следствия. Эти законы открываются эмпирически, а не дедуктивно.

Методы Милля. Пять индуктивных приёмов помогают выявлять причинные связи:

• Согласование: общее обстоятельство в случаях явления.
• Различие: обстоятельство присутствует при явлении и отсутствует при его отсутствии.
• Совместный метод: сочетание согласования и различия.
• Остатки: вычитание известных эффектов для выявления причины остатка.
• Сопутствующая изменчивость: явления изменяются вместе.

Ограничения. Эти методы мощны для проверки гипотез, но не являются безошибочными правилами открытия или доказательства. Они зависят от предварительного анализа факторов и наблюдаемых корреляций, которые могут быть неполными или вводящими в заблуждение.

10. Научный метод: Гипотеза, проверка и объяснение

Цель науки — открыть общие истины (главным образом в виде причинных связей, как обсуждалось ранее), с помощью которых можно объяснить факты.

Объяснение в науке. Научные объяснения — это теоретические построения (гипотезы или теории), из которых логически выводятся объясняемые факты. Они должны быть релевантными, общими и эмпирически проверяемыми.

Этапы исследования:

1. Определение проблемы (непонятный факт).
2. Формулировка предварительных гипотез (предварительные объяснения).
3. Сбор дополнительных фактов (под руководством гипотез).
4. Формулировка уточнённой объяснительной гипотезы (учитывающей все факты).
5. Выведение дальнейших следствий (прогнозов).
6. Проверка следствий (эмпирическая верификация или фальсификация).
7. Применение теории (практическое использование).

Оценка гипотез. Конкурирующие научные объяснения оцениваются по:

• Совместимости с устоявшимися теориями.
• Прогностической силе (проверяемым предсказаниям).
• Простоте (хотя это может быть сложно оценить).

Гипотезы условны. Научные объяснения принимаются условно, с возможностью пересмотра или отвержения при появлении новых данных. Фальсифицируемость — ключевой критерий проверяемости.

Классификация как гипотеза. Даже такие описательные действия, как классификация, включают гипотезы о том, какие признаки важны для выявления причинных связей и поиска плодотворных законов.

11. Вероятность: Количественная оценка неопределённости

Вероятность — центральное оценочное понятие всей индуктивной логики.

Вероятность измеряет вероятность. Индуктивные выводы вероятны, но не достоверны. Вероятность количественно выражает эту вероятность числом от 0 (невозможность) до 1 (достоверность).

Понимания вероятности:

• Априорная: основана на отношении благоприятных исходов к равновозможным (например, подбрасывание монеты).
• Относительная частота: основана на наблюдаемой частоте признака в референтном классе (например, смертность).

Калькулятор вероятности. Эта математическая область вычисляет вероятности сложных событий из вероятностей компонентов с помощью теорем:

• Теорема произведения: для совместных событий (умножение вероятностей).
  • Независимые события: P(a и b) = P(a) × P(b)
  • Зависимые события: P(a и b) = P(a) × P(b при a)
• Теорема сложения: для альтернативных событий (сложение вероятностей).
  • Взаимоисключающие события: P(a или b) = P(a) + P(b)
  • Не взаимоисключающие: используют косвенные методы (например, 1 - P(ни одно из них)).

Матожидание. При принятии решений с риском матожидание помогает оценить варианты. Это сумма возможных результатов, умноженных на их вероятности. Рациональные решения часто направлены на максимизацию матожидания, балансируя риск и выгоду.

Последнее обновление: May 5, 2025