Game Theory 101

1. La théorie des jeux analyse l’interdépendance stratégique.

Au fond, la théorie des jeux étudie l’interdépendance stratégique — c’est-à-dire des situations où mes actions influencent à la fois mon bien-être et le vôtre, et réciproquement.

L’interdépendance est essentielle. La théorie des jeux modélise des situations où les résultats des joueurs dépendent non seulement de leurs propres actions, mais aussi de celles des autres. Cela oblige les joueurs à anticiper, agir et réagir de manière stratégique, dépassant ainsi une simple prise de décision isolée.

Le dilemme du prisonnier. L’exemple classique est le dilemme du prisonnier, où deux voleurs arrêtés doivent choisir entre avouer ou garder le silence. Leur peine individuelle dépend du choix de l’autre, ce qui crée une situation où la décision rationnelle individuelle (avouer) conduit à un résultat collectif pire que s’ils étaient restés tous deux silencieux.

Des applications multiples. Ce concept fondamental s’applique à de nombreux cas :

• Des pays décidant d’attaquer ou de se défendre.
• Des entreprises choisissant de faire de la publicité.
• Des États engagés dans des courses aux armements ou des guerres commerciales.
  Comprendre l’interdépendance stratégique est la première étape pour analyser ces interactions complexes.

2. La dominance stricte simplifie les choix.

On dit qu’une stratégie x domine strictement une stratégie y pour un joueur si x lui procure un gain supérieur à y, quelle que soit la stratégie des autres joueurs.

Toujours une meilleure option. Une stratégie strictement dominée est celle qu’un joueur rationnel ne choisirait jamais, car une autre stratégie lui garantit toujours un meilleur gain, indépendamment des choix des autres. Identifier et éliminer ces stratégies simplifie le jeu.

Exemple du dilemme du prisonnier. Dans ce dilemme, avouer domine strictement garder le silence pour chaque joueur. Quel que soit le choix de l’autre, avouer réduit la peine de prison. La décision devient donc évidente pour un prisonnier cherchant son intérêt.

Les joueurs rationnels évitent. Par définition, jouer une stratégie strictement dominée est irrationnel. Un joueur rationnel choisira toujours la stratégie dominante, car elle assure un meilleur résultat, peu importe la décision de l’adversaire.

3. L’élimination itérée affine les ensembles de stratégies.

L’élimination itérée des stratégies strictement dominées simplifie les jeux en supprimant les stratégies que les joueurs ne joueraient jamais.

Démêler la complexité. Dans les jeux où aucune stratégie ne domine strictement toutes les autres, les joueurs peuvent néanmoins déduire ce que les autres ne joueront pas. En éliminant itérativement les stratégies dominées, le jeu peut être réduit, parfois jusqu’à un seul résultat.

Exemple du jeu des clubs de danse. Dans ce jeu entre deux clubs, l’un avait une stratégie strictement dominante (la salsa). L’autre, le sachant, pouvait éliminer sa stratégie dominée et choisir alors sa meilleure option (le disco) dans le jeu réduit.

L’ordre n’a pas d’importance. Une propriété clé de l’élimination itérée des stratégies strictement dominées est que le résultat final ne dépend pas de l’ordre dans lequel on supprime ces stratégies. Cela offre une méthode robuste pour résoudre certains jeux.

4. L’équilibre de Nash : le résultat « sans regrets ».

Un équilibre de Nash est un ensemble de stratégies, une par joueur, telles qu’aucun joueur n’a intérêt à changer sa stratégie compte tenu des choix des autres.

Meilleure réponse mutuelle. Dans un équilibre de Nash, la stratégie choisie par chaque joueur est la meilleure réponse possible aux stratégies des autres. Si les joueurs jouent selon cet équilibre, aucun ne regrettera son choix après avoir observé ceux des autres.

Exemple de la chasse au cerf. Le jeu de la chasse au cerf présente deux équilibres de Nash en stratégies pures : chasser le cerf ensemble ou chasser chacun son lièvre. Dans les deux cas, aucun joueur ne peut améliorer son sort en changeant unilatéralement de stratégie, compte tenu du choix de l’autre.

Pas toujours efficace. Les équilibres de Nash ne garantissent pas le meilleur résultat collectif. Dans la chasse au cerf, chasser chacun son lièvre est un équilibre, mais chasser le cerf ensemble rapporte davantage aux deux. Cela illustre les échecs possibles de coordination.

5. Les stratégies mixtes gèrent l’incertitude et l’indifférence.

En réalité, tout jeu fini possède au moins un équilibre de Nash.

Le théorème de Nash. Ce théorème fondamental garantit que tout jeu avec un nombre fini de joueurs et de stratégies admet au moins un équilibre de Nash, qui peut impliquer que les joueurs randomisent leurs choix (stratégies mixtes). Les jeux sans équilibre en stratégies pures, comme « pile ou face », ont nécessairement des équilibres en stratégies mixtes.

La randomisation est essentielle. Une stratégie mixte consiste à choisir entre plusieurs stratégies pures selon certaines probabilités. Dans un équilibre en stratégies mixtes, ces probabilités rendent l’adversaire indifférent entre ses propres stratégies pures, l’empêchant d’exploiter un schéma prévisible.

Calcul des probabilités. Trouver un équilibre en stratégies mixtes revient à égaliser les utilités espérées des stratégies pures d’un joueur, compte tenu de la stratégie mixte de l’adversaire, puis à résoudre pour les probabilités. Cela garantit l’indifférence nécessaire au mélange.

6. Les jeux séquentiels utilisent des arbres et l’induction à rebours.

On appelle ces jeux des jeux séquentiels, car l’ordre des coups suit une séquence.

L’ordre compte. Contrairement aux jeux à coups simultanés représentés par des matrices, les jeux séquentiels impliquent que les joueurs jouent dans un ordre précis, les joueurs ultérieurs observant souvent les choix précédents. Ils se modélisent mieux par des arbres de jeu (forme extensive).

Les arbres de jeu visualisent le déroulement. Un arbre de jeu montre les nœuds de décision, les branches représentant les choix, et les nœuds terminaux avec les gains finaux. Cette structure permet d’analyser le jeu étape par étape, en tenant compte de l’information disponible à chaque tour.

L’induction à rebours résout. La méthode principale pour résoudre ces jeux sans coups simultanés est l’induction à rebours. Elle consiste à partir de la fin du jeu, déterminer les coups optimaux des derniers joueurs, puis remonter pour fixer les choix optimaux des joueurs précédents.

7. L’équilibre parfait en sous-jeux filtre les menaces incroyables.

La perfection en sous-jeux garantit que les joueurs ne croient que les menaces que les autres ont intérêt à exécuter au moment venu.

La crédibilité est cruciale. Un jeu à coups simultanés peut avoir plusieurs équilibres de Nash, dont certains reposent sur des menaces non crédibles dans un cadre séquentiel. Un équilibre parfait en sous-jeux (EPSJ) est un équilibre de Nash qui reste un équilibre dans chaque sous-jeu du jeu initial.

Exemple du jeu de Selten. Dans ce jeu (ou jeu d’entrée d’entreprise), un équilibre de Nash implique qu’une firme menace une guerre des prix si un concurrent entre. Mais si l’entrée a lieu, la firme préfère céder plutôt que d’engager une guerre coûteuse. La menace est donc incroyable, et cet équilibre n’est pas parfait en sous-jeux.

L’induction à rebours identifie l’EPSJ. L’induction à rebours trouve naturellement l’EPSJ car elle oblige les joueurs à considérer leur coup optimal à chaque nœud de décision, même si ce nœud n’est pas atteint en équilibre. Cela élimine les stratégies fondées sur des menaces non crédibles.

8. Les problèmes d’engagement freinent les résultats mutuellement bénéfiques.

Un élément important d’un problème d’engagement est l’incohérence temporelle à laquelle un joueur est confronté.

Incapacité à s’engager. Un problème d’engagement survient lorsque les joueurs ne peuvent pas s’engager de manière crédible à une action future, même si cet engagement améliorerait la situation de tous. Les incitations du joueur évoluent dans le temps, rendant sa promesse initiale peu fiable.

Exemple de la fouille policière. Dans ce jeu, l’officier souhaite que vous acceptiez une fouille rapide (bénéfique pour tous). Mais une fois votre consentement donné, son incitation devient de mener une fouille plus approfondie. Sachant cela, vous ne pouvez pas lui faire confiance et préférez l’option moins favorable avec l’unité canine.

Contrats et ponts brûlés. Les solutions aux problèmes d’engagement impliquent souvent une application externe (comme des contrats dans l’exemple du Far West) ou la limitation stratégique des options futures (comme brûler des ponts dans l’exemple militaire) pour rendre menaces ou promesses crédibles.

9. Les jeux généralisés révèlent des schémas stratégiques universels.

Si nous rencontrons de nombreuses versions du jeu de la bataille des sexes, il serait utile de dériver une formule simple pour l’équilibre en stratégies mixtes.

Au-delà des chiffres spécifiques. Remplacer les gains numériques par des variables permet d’analyser simultanément des classes entières de jeux. Cela révèle les structures stratégiques sous-jacentes et comment les équilibres dépendent des valeurs relatives des gains, pas seulement de leurs valeurs absolues.

Bataille des sexes généralisée. En utilisant des variables (A, B, C, a, b, c) pour représenter les préférences, un calcul unique peut fournir la formule de la stratégie mixte applicable à toute version de la bataille des sexes, tant que l’ordre des préférences est respecté.

Identifier les contradictions. Les jeux généralisés aident aussi à prouver la non-existence de certains équilibres. Dans le dilemme du prisonnier ou le jeu du blocage généralisés, tenter de résoudre pour une stratégie mixte avec des variables conduit à des contradictions mathématiques, confirmant qu’aucun équilibre de ce type n’existe pour des gains valides.

10. La statique comparative analyse l’impact des changements stratégiques.

Au cœur, la théorie des jeux étudie la modification des dimensions stratégiques d’un environnement.

Mesurer la sensibilité. La statique comparative examine comment les variations de variables exogènes (coûts, valeurs, probabilités) affectent les équilibres et résultats du jeu. Cela permet de prévoir comment manipuler l’environnement stratégique influence le comportement et le bien-être des joueurs.

Exemple des tirs au but. L’analyse du jeu du penalty avec une variable représentant la précision du tireur révèle un résultat contre-intuitif : à mesure que la précision du tireur sur son côté faible s’améliore, il tire moins souvent de ce côté en équilibre, car le gardien ajuste sa stratégie.

Implications pour les politiques. La statique comparative est cruciale pour la conception des politiques. Comprendre comment modifier des paramètres (par exemple, le coût du conflit dans le jeu du faucon-colombe, le coût d’appel dans le dilemme du volontaire) influence le comportement en équilibre permet de prédire les effets des interventions.

11. Le support des stratégies mixtes exige l’indifférence.

Dans un jeu général, supposons que les joueurs mélangent en équilibre. On sait alors immédiatement que les stratégies pures dans le support des stratégies mixtes des joueurs ont toutes la même utilité espérée en équilibre.

L’indifférence est nécessaire. Pour qu’un joueur accepte de randomiser entre plusieurs stratégies pures dans un équilibre en stratégies mixtes, chacune de ces stratégies doit offrir la même utilité espérée, compte tenu de la stratégie de l’adversaire. Si l’une offrait un gain supérieur, le joueur la choisirait systématiquement.

Définition du support. Le « support » d’une stratégie mixte désigne l’ensemble des stratégies pures jouées avec une probabilité positive. Les stratégies hors support sont jouées avec une probabilité nulle.

Raccourci par dominance faible. Ce principe offre un raccourci : si un adversaire mélange toutes ses stratégies, un joueur ne peut pas inclure une stratégie faiblement dominée dans son support, car la stratégie dominante offrirait une utilité espérée strictement supérieure.

12. Pierre-papier-ciseaux illustre le besoin de solutions formelles.

Bien que l’on puisse deviner l’équilibre, de légers changements dans les gains rendent rapidement la résolution par intuition impossible.

Intuition vs rigueur. Le jeu basique de pierre-papier-ciseaux possède un équilibre en stratégies mixtes intuitif (randomiser uniformément). Mais cette intuition s’effondre dès que les gains changent légèrement, montrant la nécessité de méthodes formelles pour dériver les équilibres.

Raccourci par symétrie à somme nulle. Pour les jeux symétriques à somme nulle comme pierre-papier-ciseaux, un raccourci utile est que l’utilité espérée de chaque joueur en équilibre doit être nulle. Cela permet d’écarter des stratégies mixtes ne respectant pas cette condition.

Solution généralisée. En utilisant des variables pour les gains et en appliquant le principe d’indifférence, on peut dériver une formule générale pour l’équilibre en stratégies mixtes de toute variante de pierre-papier-ciseaux, offrant une solution rigoureuse au-delà du simple devin.