Linear Algebra Done Right

1. Espaces vectoriels : la base de l’algèbre linéaire

L’algèbre linéaire étudie les applications linéaires sur des espaces vectoriels de dimension finie.

Définition des espaces vectoriels. Les espaces vectoriels constituent la structure fondamentale de l’algèbre linéaire, généralisant les notions familières de R² (le plan) et R³ (l’espace ordinaire). Un espace vectoriel est un ensemble V muni d’opérations d’addition et de multiplication par un scalaire, satisfaisant des axiomes précis : commutativité, associativité, existence d’un élément neutre pour l’addition, existence d’un inverse additif, ainsi que des propriétés distributives. Ces axiomes garantissent un comportement cohérent et prévisible, ouvrant la voie à des manipulations algébriques puissantes.

Exemples d’espaces vectoriels. Si Fⁿ (listes de scalaires) est l’exemple le plus courant, les espaces vectoriels peuvent être plus abstraits. L’ensemble de tous les polynômes à coefficients dans F, noté P(F), forme un espace vectoriel pour l’addition et la multiplication scalaire usuelles. De même, F^∞, l’ensemble de toutes les suites d’éléments de F, est un espace vectoriel. Ces exemples illustrent que les espaces vectoriels englobent une grande variété d’objets mathématiques, bien au-delà des simples listes de nombres.

Sous-espaces : des espaces vectoriels dans les espaces vectoriels. Un sous-espace est un sous-ensemble d’un espace vectoriel qui est lui-même un espace vectoriel, héritant des opérations d’addition et de multiplication scalaire du parent. Pour vérifier qu’un sous-ensemble U de V est un sous-espace, il suffit de s’assurer que U contient le vecteur nul, est stable par addition (u, v ∈ U implique u + v ∈ U) et stable par multiplication scalaire (a ∈ F, u ∈ U implique au ∈ U). Les sous-espaces sont essentiels pour comprendre la structure des espaces vectoriels et le comportement des applications linéaires.

2. Espaces vectoriels de dimension finie : enveloppe, indépendance, base et dimension

Dans un espace vectoriel de dimension finie, la longueur de toute liste de vecteurs linéairement indépendants est inférieure ou égale à celle de toute liste de vecteurs engendrant l’espace.

Enveloppe et combinaisons linéaires. Une combinaison linéaire de vecteurs est une somme de multiples scalaires de ces vecteurs. L’enveloppe d’une liste de vecteurs est l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles. Si l’enveloppe d’une liste coïncide avec l’espace vectoriel tout entier, on dit que cette liste engendre l’espace.

Indépendance et dépendance linéaires. Une liste de vecteurs est linéairement indépendante si la seule façon d’obtenir le vecteur nul comme combinaison linéaire est de prendre tous les scalaires nuls. Sinon, la liste est linéairement dépendante. L’indépendance linéaire garantit que chaque vecteur de la liste apporte une contribution unique à l’enveloppe.

Base et dimension. Une base d’un espace vectoriel est une liste de vecteurs à la fois linéairement indépendante et engendrant l’espace. Toutes les bases d’un espace vectoriel de dimension finie ont la même longueur, appelée dimension de l’espace. La dimension est une propriété fondamentale qui caractérise la « taille » de l’espace. Par exemple :

• La base standard de Fⁿ est ((1, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, ..., 0, 1)) et dim(Fⁿ) = n.
• La base de P_m(F) est (1, z, ..., z^m) et dim(P_m(F)) = m + 1.

3. Applications linéaires : transformer les espaces vectoriels

Le résultat clé est que, pour une application linéaire T, la dimension du noyau de T plus la dimension de l’image de T égale la dimension du domaine de T.

Définition des applications linéaires. Une application linéaire (ou transformation linéaire) est une fonction T : V → W entre deux espaces vectoriels qui préserve la structure linéaire. Autrement dit, T(u + v) = T(u) + T(v) pour tous u, v ∈ V (additivité) et T(av) = aT(v) pour tout scalaire a ∈ F et vecteur v ∈ V (homogénéité). Les applications linéaires sont au cœur de l’algèbre linéaire, car elles décrivent comment transformer les espaces vectoriels tout en conservant leurs propriétés essentielles.

Noyau et image. Le noyau (ou espace nul) d’une application linéaire T est l’ensemble des vecteurs de V envoyés sur le vecteur nul de W. L’image (ou le rang) de T est l’ensemble des vecteurs de W obtenus comme image de vecteurs de V par T. Le noyau et l’image sont des sous-espaces respectivement de V et W, fournissant des informations cruciales sur le comportement de T.

Théorème de la dimension. Un résultat fondamental de l’algèbre linéaire affirme que, pour une application linéaire T : V → W, dim(V) = dim(noyau T) + dim(image T). Ce théorème relie les dimensions du domaine, du noyau et de l’image, offrant un outil puissant pour analyser les applications linéaires. Il implique notamment que si le domaine est « plus grand » que l’espace d’arrivée, l’application ne peut être injective, et si le domaine est « plus petit », elle ne peut être surjective.

4. Polynômes : outils algébriques pour l’algèbre linéaire

Même si vos étudiants ont déjà vu une partie du contenu des premiers chapitres, ils peuvent ne pas être habitués à travailler sur des exercices de ce type, qui requièrent souvent une compréhension des démonstrations.

Polynômes comme fonctions. Un polynôme est une fonction de la forme p(z) = a₀ + a₁z + a₂z² + ... + a_mz^m, où les coefficients a_i sont des scalaires de F et z une variable. Le degré d’un polynôme est la plus grande puissance de z dont le coefficient est non nul. Les polynômes sont des outils essentiels en algèbre linéaire, notamment pour l’étude des opérateurs.

Racines des polynômes. Une racine d’un polynôme p est un scalaire λ tel que p(λ) = 0. Les racines jouent un rôle crucial dans la factorisation des polynômes et la compréhension de leur comportement. Un résultat clé est que λ est racine de p si et seulement si p(z) = (z - λ)q(z) pour un certain polynôme q.

Théorème fondamental de l’algèbre. Pilier de l’analyse complexe, le théorème fondamental de l’algèbre affirme que tout polynôme non constant à coefficients complexes possède au moins une racine complexe. Ce théorème a des implications profondes sur la structure des polynômes et leur factorisation, permettant d’exprimer tout polynôme complexe comme un produit de facteurs linéaires.

5. Valeurs propres et vecteurs propres : révéler la structure des opérateurs

Une fois les déterminants relégués à la fin du livre, une nouvelle voie s’ouvre vers l’objectif principal de l’algèbre linéaire : comprendre la structure des opérateurs linéaires.

Sous-espaces invariants. Un sous-espace U de V est invariant par un opérateur T ∈ L(V) si T(u) ∈ U pour tout u ∈ U. Les sous-espaces invariants sont essentiels pour analyser la structure des opérateurs, car ils permettent de décomposer l’opérateur en parties plus simples. Les sous-espaces invariants non triviaux les plus simples sont de dimension un.

Valeurs propres et vecteurs propres. Un scalaire λ ∈ F est une valeur propre de T s’il existe un vecteur non nul v ∈ V tel que T(v) = λv. Le vecteur v est alors appelé vecteur propre associé à λ. Les valeurs et vecteurs propres révèlent des propriétés fondamentales des opérateurs linéaires, indiquant des directions où l’opérateur agit simplement par mise à l’échelle.

Indépendance linéaire des vecteurs propres. Les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont linéairement indépendants. Ce théorème est une pierre angulaire pour la diagonalisation des opérateurs. Si un opérateur possède suffisamment de vecteurs propres linéairement indépendants pour former une base, alors il peut être représenté par une matrice diagonale dans cette base.

6. Espaces à produit scalaire : ajouter de la géométrie aux espaces vectoriels

Même dans un ouvrage aussi concis, il est impossible de tout couvrir.

Produits scalaires : généralisation du produit scalaire usuel. Un produit scalaire sur un espace vectoriel V est une fonction qui associe à deux vecteurs un scalaire, satisfaisant positivité, définition, additivité, homogénéité et symétrie conjugée. Les produits scalaires généralisent le produit scalaire dans Rⁿ, permettant de définir notions de longueur, d’angle et d’orthogonalité dans des espaces vectoriels abstraits.

Normes et orthogonalité. La norme d’un vecteur est la racine carrée de son produit scalaire avec lui-même, fournissant une mesure de sa longueur. Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul, généralisant la notion de perpendicularité. Le théorème de Pythagore s’applique dans les espaces à produit scalaire : si u et v sont orthogonaux, alors ||u + v||² = ||u||² + ||v||².

Bases orthonormées et procédé de Gram-Schmidt. Une base orthonormée est une base constituée de vecteurs deux à deux orthogonaux et de norme 1. Les bases orthonormées simplifient de nombreux calculs dans les espaces à produit scalaire. Le procédé de Gram-Schmidt fournit un algorithme pour construire une base orthonormée à partir de toute liste linéairement indépendante de vecteurs.

7. Opérateurs sur espaces à produit scalaire : transformations auto-adjointes et normales

Le théorème spectral, qui caractérise les opérateurs linéaires admettant une base orthonormée de vecteurs propres, est le point culminant du chapitre 7.

Opérateurs auto-adjoints. Un opérateur T est auto-adjoint si T = T*, où T* est l’adjoint de T. Les opérateurs auto-adjoints jouent un rôle analogue à celui des nombres réels dans le contexte des nombres complexes. Toute valeur propre d’un opérateur auto-adjoint est réelle.

Opérateurs normaux. Un opérateur T est normal s’il commute avec son adjoint, c’est-à-dire TT* = T*T. Les opérateurs normaux généralisent les opérateurs auto-adjoints et possèdent des propriétés spectrales importantes. Sur les espaces à produit scalaire complexes, le théorème spectral affirme qu’un opérateur est normal si et seulement s’il existe une base orthonormée constituée de ses vecteurs propres.

Théorème spectral. Le théorème spectral est un résultat central dans la théorie des opérateurs sur espaces à produit scalaire. Il affirme qu’un opérateur linéaire T sur un espace à produit scalaire complexe de dimension finie admet une base orthonormée de vecteurs propres si et seulement si T est normal. Ce théorème offre un outil puissant pour analyser la structure des opérateurs normaux.

8. Espaces vectoriels complexes : vecteurs propres généralisés et forme de Jordan

Le polynôme minimal, le polynôme caractéristique et les vecteurs propres généralisés sont introduits au chapitre 8.

Vecteurs propres généralisés. Un vecteur propre généralisé d’un opérateur T associé à une valeur propre λ est un vecteur v tel que (T - λI)^j(v) = 0 pour un certain entier j > 0. Les vecteurs propres généralisés étendent la notion de vecteurs propres et sont essentiels pour comprendre la structure des opérateurs non diagonalisables.

Opérateurs nilpotents. Un opérateur N est nilpotent s’il existe un entier j > 0 tel que N^j = 0. Les opérateurs nilpotents jouent un rôle clé dans la décomposition des opérateurs sur espaces vectoriels complexes. Tout opérateur peut être décomposé en une partie diagonalisable et une partie nilpotente.

Forme de Jordan. Le théorème de la forme de Jordan affirme que pour tout opérateur linéaire T sur un espace vectoriel complexe de dimension finie, il existe une base de V telle que la matrice de T dans cette base soit sous forme de Jordan. Cette forme est constituée de blocs diagonaux, chaque bloc étant une matrice triangulaire supérieure avec la valeur propre sur la diagonale et des 1 juste au-dessus de la diagonale.

9. Espaces vectoriels réels : sous-espaces invariants et formes triangulaires par blocs

Les opérateurs linéaires sur espaces vectoriels réels occupent une place centrale au chapitre 9.

Sous-espaces invariants de dimension deux. Tout opérateur sur un espace vectoriel réel de dimension finie non nulle possède un sous-espace invariant de dimension 1 ou 2. Ce résultat est crucial car les espaces vectoriels réels peuvent ne pas avoir de valeurs propres, et donc pas de sous-espaces invariants de dimension un.

Matrices triangulaires supérieures par blocs. Tout opérateur sur un espace vectoriel réel admet une matrice triangulaire supérieure par blocs dans une certaine base, chaque bloc étant une matrice 1×1 ou 2×2 sans valeurs propres. Ce résultat est analogue à celui selon lequel tout opérateur sur un espace vectoriel complexe admet une matrice triangulaire supérieure dans une base adaptée.

Théorème spectral réel. Le théorème spectral réel affirme qu’un opérateur linéaire T sur un espace réel à produit scalaire de dimension finie possède une base orthonormée de vecteurs propres si et seulement si T est auto-adjoint. Ce théorème est analogue au théorème spectral complexe, mais s’applique uniquement aux opérateurs auto-adjoints sur espaces réels.

10. Trace et déterminant : résumés numériques des transformations linéaires

Une fois les déterminants relégués à la fin du livre, une nouvelle voie s’ouvre vers l’objectif principal de l’algèbre linéaire : comprendre la structure des opérateurs linéaires.

Trace d’un opérateur. La trace d’un opérateur T est définie comme la somme des coefficients diagonaux de sa matrice dans n’importe quelle base. La trace est indépendante du choix de la base et fournit un résumé numérique de l’opérateur. La trace d’un opérateur est égale à la somme de ses valeurs propres, comptées avec multiplicité.

Déterminant d’un opérateur. Le déterminant d’un opérateur T est défini comme (-1)^dim(V) multiplié par le terme constant du polynôme caractéristique de T. Le déterminant est indépendant du choix de la base et constitue un autre résumé numérique de l’opérateur. Le déterminant d’un opérateur est égal au produit de ses valeurs propres, comptées avec multiplicité.

Propriétés de la trace et du déterminant. La trace et le déterminant satisfont plusieurs propriétés importantes. Par exemple, trace(ST) = trace(TS) et det(ST) = det(S)det(T). Un opérateur est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Ces propriétés font de la trace et du déterminant des outils puissants pour analyser les opérateurs linéaires.